RESUMEN CAP4 (193-203)

 

CONDUCTORES Y DIELÉCTRICOS

De acuerdo con la ecuación rotacional de Maxwell a partir de la Ley de Ampere,

Como J = σE, la ecuación (1) se transforma en 

Para una onda plana polarizada linealmente, viajando en la dirección x con E en la dirección y. la ecuación vectorial (2) se reduce a la ecuación escalar fasorial

Cada uno de los términos de la ecuación (3) tiene las dimensiones de la densidad de corriente, que se expresa en amperes por metro cuadrado.

σE= densidad de la conducción de la corriente

jωεE_y= densidad del desplazamiento de la corriente

Así, la razón de cambio del espacio de H_Z es igual a la suma de las densidades de la conducción y desplazamiento de la corriente Si la conductividad es cero, el término conducción de corriente desaparece. Si σ no es igual a cero, se pueden definir arbitrariamente tres condiciones como sigue:

Cuando el desplazamiento de la corriente es mucho mayor que la conducción de la corriente, el medio se comporta como un dieléctrico. Si σ=0, el medio es un dieléctrico perfecto o sin pérdidas. Para σ diferente de cero el medio es un dieléctrico disipativo o imperfecto.

Si ωɛ>> 0, se comporta más como un dieléctrico que cualquier otra cosa y puede, para propósitos prácticos, clasificarse como un dieléctrico. Por otro lado, cuando la conducción de la corriente es mucho mayor que el desplazamiento de la corriente, como en la condición tres, el medio puede clasificarse como conductor. Cuando la conducción de la corriente es el mismo orden de magnitud que la corriente de desplazamiento, el medio se puede clasificar como cuasiconductor (no deberá confundirse con "semiconductor").

Aún se puede ser más específico y clasificar al medio, en forma arbitraria, como perteneciente a uno de los tres tipos, de acuerdo con el valor de la razón σ/ωε, como sigue:

La relación σ/ωε no tiene dimensiones.

La frecuencia es un factor importante para determinar si un medio actúa como dieléctrico o como conductor.

A 1 kHz el suelo rural se comporta como conductor, mientras en la frecuencia de microondas de 30 GHz actúa como dieléctrico.

MEDIOS CONDUCTORES Y LÍNEAS DISIPATIVAS

Considere una onda que se transmite hacia el medio conductor. Sea r=0 en la frontera del medio conductor, con r incrementándose en forma positiva en el medio conductor.

La ecuación de onda para un medio conductor es:

Una solución de la ecuación (1) para una onda viajera en la dirección x positiva es

Para conductores, σ>> ωε, de tal forma que la ecuación (2) se reduce a

Así,  γ tiene una parte real y una imaginaria Poniendo γ=α+jβ, se tiene a, la parte real, asociada con una atenuación β, la parte imaginaria, asociada con la fase. De aquí se concluye que:

La ecuación es una solución de la ecuación de onda para una onda plana viajera en la dirección positiva de x en el medio conductor. Esta ecuación proporciona la variación de E, en magnitud y fase como una función de x. El campo se atenúa de manera exponencial y se retrasa linealmente en fase con un aumento en x que se está incrementando.

Ahora se obtendrá una medida cuantitativa de la penetración de la onda en el medio conductor.

donde δ = √2/ωμσ. En x = 0, E_y = E₀. Ésta es la amplitud del campo en la superficie del medio conductor. Ahora δ en la ecuación tiene las dimensiones de distancia. En una distancia x = δ, la amplitud del campo es

Así, E_y disminuye a 1/e  (36.8%) de su valor inicial, mientras la onda penetra una distancia δ. De manera que δ se denomina profundidad de penetración1/e.

Considere la profundidad de penetración de una onda electromagnética plana incidiendo normalmente en un buen conductor como el cobre. Debido a que ω =2πf, la profundidad 1/e toma la forma

Para el cobre μ = 1, de manera que μ = 1.26 µH m^-1, y la conductividad σ = 58 MᲾ m. Sustituyendo estos valores en la ecuación, se obtiene para el cobre

donde δ = profundidad de penetración 1/e, m, y f = frecuencia, Hz.

Evaluando la en frecuencias específicas, se encuentra que

A 60 Hz:                               δ=8.5 x 10-3 m

A 1 MHz:                             δ= 6.6 x 10-5 m

A 30 GHz:                            δ= 3.8 x 10-7 m

Así, un campo de altas frecuencias se atenúa cuando penetra un conductor en una distancia más corta que el de un campo de bajas frecuencias.

La velocidad de fase está dada por la razón ω/β. En el caso presente, β = 1/δ así que la velocidad de fase en el conductor es

Como la profundidad 1/e es pequeña, la velocidad de fase en conductores es pequeña. En la ecuación se observa que la velocidad es una función de la frecuencia y, por consiguiente, de la longitud de onda. En este caso, dv/dλ es negativa; donde λ = longitud de onda en espacio libre. Los conductores son un medio anormalmente dispersivo.

La razón de la velocidad de una onda en espacio libre con la del medio conductor, es el índice de refracción para el medio conductor. A frecuencias bajas el índice es muy grande para conductores.

Para encontrar la longitud de onda en el conductor, se tiene de la ecuación que fλ_c = ωδ, o

λ_c = 2πδ

Para el caso de un medio conductor en el que σ >> ωε, se tiene que la impedancia característica es