Resumen capítulo 2
Capitulo II CAMPOS MAGNÉTICOS Y ELÉCTRICOS
2.1 INTRODUCCIÓN
La teoría de circuitos incluye los resistores, los
capacitores y los inductores como dispositivos de dos terminales conectados por
alambres. La teoría del campo trata del espacio interior y exterior de estos
dispositivos.
Casi toda la energía fluye en el exterior de los conductores
de una línea de transmisión en lugar de en su interior. Si el espaciamiento de
los conductores de una línea de transmisión se incrementa lo suficiente, la
mayor parte de la energía sale de los conductores y se irradia al espacio,
formando un sistema de radiación o una antena. Como esta energía va de los circuitos
a los campos y de las líneas de transmisión a las antenas, se sigue una
secuencia lógica.
2.2 CAMPOS ELÉCTRICOS
Carga eléctrica Q y campo eléctrico E
CARGAS PUNTUALES. La cantidad básica eléctrica es la carga Q. Una carga aislada está rodeada por un campo eléctrico que ejerce una fuerza en todas las demás cargas. Así, una carga Q, a una distancia de una carga, experimenta una fuerza determinada por la Ley de Coulomb como
La permitividad ε es el producto de la permitividad ε0 del
vacío multiplicada por un número sin dimensiones εr, denominado
permitividad relativa. Así,
donde ɛ, = permitividad relativa y ε0 = permitividad del vacío = 8.85 x 1012 faradios/metro, F m-1. Para un material dieléctrico ε> 1. Para el poliestireno εr = 2.7, por lo tanto su permitividad está dada por
Dividiendo a la ecuación (1) entre Q2 se obtiene una fuerza por
unidad de carga, la cual se define como el campo eléctrico E. Sus unidades son
newtons por coulomb o voltios por metro. Así,
Líneas de carga
Una línea de carga de longitud 2ª tiene una densidad lineal de carga PL
elemento diferencial dz de la línea tiene una carga de que produce un campo
eléctrico dE en el punto P dado por
donde ρL
= carga por unidad de longitud, Cm-1 La componente de campo en la
dirección r (perpendicular a la línea) es
Por simetría la componente positiva y negativa de z suman cero y el campo
radial de la línea en P es entonces la integral de dE, sobre la longitud 2a de
la línea, o
Para una línea larga ( a>>r), la ecuación (5) se reduce
a
2.3 POTENCIAL ELÉCTRICO V Y SU GRADIENTE E
El campo eléctrico E en un punto se define como la fuerza F por unidad de carga
+Q en el punto. De esta manera:
Al mover la carga +Q contra un campo E entre los dos puntos a y b, se realiza
un trabajo. Así:
Este trabajo por unidad de carga es la diferencia de potencial eléctrico AV entre los puntos a y b. Las unidades están en joules por coulomb o voltios. Así:
El signo negativo indica que el movimiento contra el campo eléctrico resulta en un trabajo positivo. Integrando E entre a y b por alguna otra trayectoria, la diferencia por la integral de línea de E entre a y b.
Desarrollando la ecuación al caso general donde E también tiene componentes y y z, se tiene
E en la ecuación (7) se denomina gradiente de V. Abreviando gradiente a grado el operador nabla (V), la ecuación (7) puede escribirse como
donde
=
operador vectorial denominado nabla
El gradiente está en la dirección de la máxima razón de
cambio del potencial V y en la dirección opuesta a la del campo.
Para resumir:
1. La integral de línea del campo E produce el potencial V
entre dos puntos.
2. La integral de línea de E desde el infinito a un punto,
produce el potencial absoluto del punto
3. El gradiente de V produce el campo E en el punto.
Superposición de potencial
El potencial eléctrico escalar es una función lineal del
valor de su carga.
Los potenciales de más de una carga puntual son linealmente
superpuestos por la suma escalar (algebraica).
Principio de superposición: El potencial eléctrico total en un punto es la suma algebraica de los potenciales individuales en el punto.
El potencial eléctrico total (trabajo por unidad de carga) en el punto P está dado por
Para la distribución de la carga lineal,
el potencial en P está dado por
La integración se lleva a cabo sobre el volumen que contiene la carga.
Para la distribución de carga superficial, el potencial en P
está dado por
Para la distribución de carga en volumen, el potencial en P es
Si las cargas puntuales, la distribución lineal de carga, la distribución superficial de carga y la distribución volumétrica de carga, se presentan simultáneamente, el potencial eléctrico total en el punto P es la suma algebraica de las componentes individuales de los potenciales. Así, en general:
2.4 LINEAS DE CORRIENTE DE UN CAMPO ELÉCTRICO Y CONTORNOS
EQUIPOTENCIALES; ORTOGONALIDAD
Una línea de campo indica la dirección de la fuerza en una
carga de prueba positiva introducida en el campo. Si se libera la carga de
prueba, se acelera en la dirección de una línea de campo.
En un campo uniforme las líneas E son paralelas y las líneas
equipotenciales forman un conjunto de líneas paralelas ortogonales las líneas
equipotenciales son superficies planas perpendiculares a E y para un incremento
fijo del voltaje AV están espaciadas de manera uniforme.
En un campo no uniforme las líneas de E divergen al ir de
una región de campo más fuerte a una más débil.
Las líneas de campo eléctrico y equipotenciales son en todas
partes ortogonales (en ángulos rectos).
2.5 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN MULTICONDUCTORAS
Líneas de carga
Las líneas de transmisión se usan para transmitir potencia, señales de radio,
de televisión e información.
El potencial en P En cualquier punto (xy) es la suma escalar
de los potenciales debido a las dos líneas.
La diferencia de potencial entre Py el origen para la línea
positiva es:
La diferencia total de potencial Entre Py el origen es la suma algebraica de los potenciales individuales de (1) y (2), o
El campo total en P(x, y) es la suma vectorial de los campos de los dos alambres, o
2.6 FLUJO ELÉCTRICO Y DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO (O DESPLAZAMIENTO): LEY DE
GAUSS
Carga de superficie, caso uniforme
El flujo eléctrico Ψ a través de un área de superficie
es la integral de la componente normal del campo eléctrico (multiplicado por E)
sobre el área. Así
En el (supuesto) campo uniforme E entre dos placas la integral se reduce a un simple producto escalar. Así, el flujo sobre el área pequeña a es
Cuanto más grande sea la permitividad, más grande será la densidad de flujo D para un campo eléctrico dado E.
La densidad de flujo D también se denomina desplazamiento
eléctrico.
En un medio isotrópico (las propiedades son independientes
de la dirección) D y E están en la misma dirección y ε es una cantidad escalar. En
un medio anisotrópico E y D pueden estar en diferentes direcciones y es un
tensor.
Suponiendo un campo uniforme entre las, el flujo total entre
las placas es
Ψ=DA
donde A = área total de la placa, m? y el flujo a través de
cualquier sección transversal del tubo de flujo es
Ψ=Da
donde a = área del tubo de flujo, m? Para este caso uniforme, la carga está uniformemente distribuida sobre las placas de forma que la carga total Q es igual a la densidad de carga o en las placas por el área A o
Carga de superficie, caso no uniforme
Dos cargas puntuales +Q y -Q. conectadas por tubos de flujo
a lo largo de líneas de campo eléctrico. Cada tubo contiene una cantidad
constante de flujo
Ψ=DA
Cerca de cada carga, donde D es grande. A es pequeña, y a la
mitad entre ellas, donde Es más débil, A es más grande, de forma tal que DA =
constante a lo largo de cada tubo.
El elemento diferencial de flujo eléctrico dΨ a
través de un elemento diferencial de superficie ds, está dado por
dΨ = D∙ds
En lugar de sumar tubos discretos de flujo para obtener la carga total, se integra
la densidad de flujo D sobre una superficie esférica rodeando una carga puntual
Q.
Integrando D sobre la superficie esférica, se tiene
Así, el flujo eléctrico total sobre la esfera (obtenido al
integrar la componente normal de la densidad de flujo D sobre la esfera) es
igual a la carga Q encerrada por la esfera.
Volumen de carga y Ley de Gauss
Un cubo de densidad de carga volumétrica p (C m) y volumen v. Integrando la
densidad de flujo D sobre las seis caras, se obtiene el flujo eléctrico total
del cubo como una superficie integral,
La carga total también está dada por la integral de volumen de la densidad de volumen de carga p por todo el cubo o
Combinando las integrales de superficie y volumen, se obtiene la Ley de Gauss, formulada por Karl Friedrich Gauss en 1813. Esta ley establece que la integral de densidad de flujo D sobre cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada.
Cualquier superficie cerrada, real o imaginaria, puede ser
denominada superficie gaussiana.
Le integral de superficie implica una superficie cerrada o
gaussiana.
La Ley de Gauss es un teorema básico de electrostática. Es una consecuencia necesaria de la Ley del inverso cuadrado (Ley de Coulomb).
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