ELECTROMAGNETISMO CON APLICACIONES-Resumen Capítulo 1

 INTRODUCCIÓN

        1.1   Electromagnetismo: su importancia.

El electromagnetismo es importante, ya que proporciona un entendimiento en un mundo real, en forma tridimensional de la electricidad y magnetismo.

 De acuerdo con la teoría de circuitos la batería proporciona un voltaje V y envía una corriente I a través de los alambres hacia la carga. Casi toda la energía se lleva de la batería a la carga mediante campos electromagnéticos externos a los alambres. Se extiende un campo eléctrico entre los alambres que están rodeados por un campo magnético. 

        1.2   Dimensiones y unidades

 Una dimensión define algunas características físicas. Ejemplo: longitud, masa, tiempo, entre otras.

 Las dimensiones fundamentales pueden definir otras dimensiones en términos de estas como lo son masa, tiempo, corriente eléctrica, temperatura e intensidad luminosa.

Existen también las dimensiones secundarias por ejemplo el área.

 Una unidad es una referencia mediante la cual una dimensión se puede expresar en forma numérica, por ejemplo, el metro o el kilogramo.

        1.3   Unidades fundamentales y secundarias.

  Las unidades para las dimensiones fundamentales se denominan unidades fundamentales o unidades base.

   Metro (m): es la longitud de la trayectoria recorrida.

   Kilogramo (kg): es la masa de algún cuerpo.

   Segundo (s): la duración de períodos de radiación

  Ampere (A): igual a la corriente eléctrica que fluye en cada 1 D dos alambres infinitamente largos.

  Candela (cd): intensidad luminosa igual a 1/600 000 metros cuadrados.

           1.4   Como interpretar los símbolos y la notación

Las cantidades pueden ser vectores o escalares, las cantidades vectoriales se escriben en negritas y las escalares en cursiva.

Las unidades se representan en números romanos.

La abreviatura se representa con letra mayúscula si se deriva de un nombre propio, ej: C-Coulomb.

 Los prefijos también son denominados con letras, como n en nC para denotar nanocoulomb.

 Ejemplos:

               D= ŷ 200 pCm^-2

 La densidad de flujo eléctrico D es un vector, con una magnitud de 200 picocoulombs por metro cuadrado (2 x 10^-10).

              1.5   Análisis vectorial

         Introducción

 El análisis vectorial es un lenguaje preciso o de taquigrafía matemática. Facilita el análisis de campos electromagnéticos.

         Escalares y vectores

 Escalar: solo tiene magnitud. Es una cantidad que puede ser descrita solo por un número

 Vectorial: Tiene magnitud y dirección. Se distingue textualmente por la letra con la que se designe, los vectores se designan con una letra con una barra encima de esta.

          Suma y resta de vectores

 Un vector se representa gráficamente con una recta con punta de flecha. Tiene un punto de origen y un punto extremo. La orientación de la recta indica la dirección del vector. Si el origen y el punto extremo se invierten, pero la orientación de la recta sigue igual, se dice que el vector cambió de sentido.

 Ej. 1. Suma de dos vectores: se coloca el origen del vector en la punta del otro vector, ya sea el origen del vector A en la punta del vector B o viceversa. El vector suma o resultante es el nuevo vector C, que surge del punto de origen de A hasta el  extremo de B.

 2. Suma de 3 vectores: se realiza el mismo procedimiento que en la suma de dos  vectores, pero en este caso el tercer vector se trasladará a la punta del vector  resultante de A+B (o B+A según sea el caso) y la nueva resultante será el nuevo vector suma.

3. Resta de vectores: Se suma el vector A o B pero con sentido inverso. Por lo tanto, tenemos que: A+(-B)=D

              Multiplicación y división de un vector por un escalar

 Un vector se puede multiplicar o dividir por un escalar. El vector A multiplicado por el escalar número 3 es un vector 3 veces más largo que A pero en la misma dirección, la longitud es equivalente a la magnitud.

        Coordenadas rectangulares y la descomposición de un vector en componentes

 Un sistema rectangular o cartesiano tiene tres ejes perpendiculares, ejes x, y y z . El sistema puede ser derecho o izquierdo.

 Un vector A en el origen de un sistema coordenado rectangular, se puede descomponer en tres componentes vectoriales

A=Ax+Ay+Az 

Cada uno de los componentes del vector se puede expresar a su vez como el producto de una magnitud escalar y de un vector unitario. Así. 

Las barras verticales indican magnitud de A. Por lo tanto |A| es la magnitud escalar A del vector A representado por |A| = A.  

                                    A_x= componente x de A (magnitud escalar de A en la dirección x) = |A_x|

                                    A_y= componente y de A = | A_y|

                                   A_z= componente z de A = |A_z|

       El producto escalar o producto punto de dos vectores

 Se define como el producto de sus magnitudes multiplicado por el coseno del ángulo entre los vectores. Así, el producto escalar de A y B se escribe: 

donde ϴ es el ángulo entre A y B

El producto punto de dos vectores produce un escalar.

El producto escalar de un vector y de un vector unitario produce la componente del vector en la dirección del vector unitario. 

            La Integral de línea

Una aplicación importante del producto escalar implica la integral de línea. Supóngase un movimiento a lo largo de una trayectoria curva del punto P1, al punto P2 en un campo de fuerza radial F, con una fuerza F actuando en un objeto en la dirección radial. En un punto cualquiera P, el producto de una longitud de trayectoria dL y el de la componente de F paralela a la fuerza está dado por

donde F_L = a la componente de F en la dirección de la trayectoria y 0 = ángulo entre las direcciones positivas de la trayectoria y F. En la figura 1-9 se nota también que la componente de dL en la dirección r (y también de F) está dada por

Usando producto punto:

donde dL = longitud diferencial del vector.

Sumando las aportaciones de los segmentos paralelos a F, se obtiene el trabajo total W entre los extremos de la trayectoria. Para segmentos de longitud finita dL, este valor es aproximado. Como dL -à 0, se convierte exactamente a la forma que se indica en seguida

donde P1= punto inicial (límite inferior de integración)

P2= punto final (límite superior de integración)

La formulación de la ecuación anterior se denomina integral de línea y proporciona trabajo total W realizado por F en un objeto (igual a la energía aplicada al objeto) desplazado sobre la trayectoria de P1, a P2.

La integral de superficie

Supóngase que fluye agua a una razón uniforme de B litros por minuto por metro cuadrado A través de una espira cuadrada de área A cómo se muestra en la figura 1-11ª. la corriente o flujo de agua a través de la espira depende de 3 cosas : B la razón y dirección del flujo, del área A de la espira y del ángulo del expira respecto a B. si se define el área como un vector de magnitud A y dirección perpendicular a su superficie, el flujo del agua se puede expresar cómo producto escalar o como producto punto. Así,

Si el flujo es no uniforme (B es una función de posición ), es necesario calcular el flujo incremental del agua a través de una superficie de área ds en un punto cómo se da por:

Entonces se suman o se integran las contribuciones en todos los puntos a través de la superficie de la espira,  obteniéndose el flujo total del agua. Así,

        Producto vectorial o producto cruz de dos vectores

Se define como un tercer vector, de magnitud igual al producto de las magnitudes vectoriales multiplicado por el seno del ángulo entre ellos. La dirección del vector resultante, es perpendicular al plano que contiene los primeros dos y en forma tal que los tres vectores forman un conjunto derecho.

Sea A un vector que coincide con el eje x y B un vector en el plano x-y. Para obtener el producto vectorial de A y B, se mueve A hacia B y se procede en la dirección de un tornillo derecho, de donde se obtiene el vector C en la dirección z (véase la figura 1-7a). La magnitud de C está dada por

1-7. Introducción a los sistemas ordenados.

Los tres sistemas coordenados más comunes son: el rectangular (coordenadas x, y. 2), el cilíndrico (coordenadas r, φ,2). y el esférico (coordenadas r, ϴ,φ )

En coordenadas rectangulares un punto P se especifica con x, y, z, donde todos estos valores se miden desde el origen. Un vector en el punto P se especifica en términos de tres componentes mutuamente perpendiculares con vectores unitarios . Los vectores unitarios , ý y 2 forman un conjunto derecho.

En coordenadas cilíndricas un punto P se especifica con r, φ, z. donde se mide desde el eje x. Un vector en el punto P se especifica en términos de tres componentes mutuamente perpendiculares, con vectores unitarios f perpendicular al cilindro de radio r, φ perpendicular al plano a través del eje z en un ángulo φ y z perpendicular al plano x-y en una distancia z. Los vectores unitarios r, φ, z forman un conjunto de mano de recha.

En coordenadas esféricas un punto P se especifica con r, ϴ, φ, donde r se mide desde el origen, ϴ se mide desde el eje z, φ se mide desde el eje x (o plano -2). Con el eje z hacia arriba, ϴ se denomina en algunas ocasiones ángulo cenit y o ángulo azimuth.